Теория вероятностей, или Как не съесть отравленный леденец

Почему, делая выбор из нескольких вариантов, люди так часто ошибаются? Одна из причин связана с тем, что большинство из нас склонны совершенно неверно оценивать вероятность того или иного исхода ситуации. Это лишний раз подтверждает научная загадка об отравленных леденцах, недавно опубликованная в Сети известным блогером Тимом Урбаном.

Роковой леденец

Условия загадки таковы. Путешественник приезжает в чужую страну, останавливается у сливового дерева и начинает собирать с него сливы. Тут появляется разгневанный хозяин сада и заявляет, что по законам этой страны вор должен умереть. Однако у него есть шанс остаться в живых…

На выбор "грабителю" даются три леденца — красный, зеленый и синий. Хозяин говорит, что два из них отравлены, а третий нет. Если путешественнику попадется ядовитый леденец, он умрет через полминуты. Если безвредный — его отпустят восвояси.

Человек останавливает свой выбор на леденце зеленого цвета. Но когда он берет его, хозяин говорит, что один из оставшихся леденцов — синий — точно отравлен, и осужденный, если хочет, может поменять уже взятый на красный леденец… После этого он убирает синий леденец.

Вопрос — какова вероятность того, что зеленый леденец ядовит, а красный — безвреден? На первый взгляд, она составляет 50 на 50. Но на самом деле вероятность того, что путник выбрал именно отравленную конфету, составляет две трети. Ведь хозяин исключил из выбора синий леденец, заявив, что он достоверно отравлен…

Коза или автомобиль?

Тим Урбан обоснует свое утверждение с помощью методов теории вероятностей и математической статистики. Он отсылает нас к парадоксу Монти Холла, представляющему одну из задач, решение которой, казалось бы, лежит за пределами здравого смысла…

Игра основана на американском телешоу Let's Make a Deal и названа в честь ведущего этой программы. Наиболее распространенное ее описание было впервые опубликовано в 1990 году в журнале Parade.

Участнику игры предлагают выбрать одну из трех дверей. Известно, что за одной из них находится автомобиль, а за двумя другими — козы. Участник выбирает одну из дверей, но пока не открывает ее. После этого ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и спрашивает вас, не хотите ли вы изменить свой первоначальный выбор. Вопрос — насколько увеличиваются ваши шансы выиграть машину, если вы выберете другую дверь?

Уже после первой публикации последовали заявления о том, что задача для игрока сформулирована некорректно: не все условия игры оговорены. Так, ведущий может придерживаться стратегии "адский Монти": поскольку ему заранее известно, за какой дверью что находится, он может предлагать игроку сменить выбор именно тогда, когда за выбранной дверью стоит автомобиль… Получается, что смена выбора — это гарантированный проигрыш.

Поэтому необходимо оговаривать дополнительные условия. Так, машина может изначально находиться за любой из трех дверей; ведущий обязан открыть дверь именно с козой и предложить игроку сменить выбор; и наконец, если у ведущего есть выбор, какую из дверей открыть, он может выбрать с одинаковой вероятностью любую из них.

Система решений

Стандартные рассуждения: ведущий в итоге всегда открывает одну из "проигрышных" дверей, и это уравнивает шансы на выигрыш. Но это неверный вывод.

С обывательской точки зрения, после того как одна из дверей открыта, игроку приходится решать уже новую задачу — ведь то, что за дверью окажется коза, никак не связано с предыдущим выбором игрока. Ему придется делать выбор заново. А математика рассматривает обе задачи как последовательно связанные друг с другом.

Также можно играть "по системе". Допустим, всегда в итоге выбирать другую дверь… В этом случае вы проигрываете, только если с самого начала сделали неправильный выбор. Поскольку вероятность с самого начала выбрать дверь с козой составляет 23, то выходит, что для итоговой победы вы должны сначала непременно совершить ошибку…

Можно также заменить условие эквивалентным. Например, представим, что игроку необходимо угадать "выигрышную" дверь с первой, а не со второй попытки, но при этом ему сообщают, что вероятность нахождения автомобиля за первой дверью равна 13, а также за какой из двух оставшихся дверей машины точно нет.

Следовательно, предпочтительнее выбрать последнюю дверь, так как вероятность того, что за ней окажется приз, равна 23.