Математики открыли два новых типа бесконечностей: что это значит?

Вопрос о том, есть ли бесконечность у бесконечности, звучит как парадокс, но для математиков это серьёзная и захватывающая загадка. Новое исследование, проведённое учёными из Венского технологического университета и Барселонского университета, добавило в этот «лес» два новых уровня — так называемые строгие и ультрастрогие кардиналы.

Что такое бесконечность?

Математики давно классифицировали бесконечности в виде иерархической лестницы, где одни бесконечности «больше» других. Например:

• ℵ₀ (алеф-ноль): Бесконечность натуральных чисел (1, 2, 3…).
• Бесконечность вещественных чисел: Включает все дробные и отрицательные числа, а также бесконечное количество чисел между 0 и 1.

Такие бесконечности описываются с помощью так называемых аксиом крупных кардиналов, каждая из которых задаёт уникальный тип бесконечных чисел с особыми свойствами. Однако новые строгие и ультрастрогие кардиналы не вписываются в привычную структуру.

Строгие и ультрастрогие кардиналы: что это?

По словам Жоана Багарии, математика из Барселонского университета, эти новые кардиналы «существуют на самых верхних уровнях иерархии крупных кардиналов» и обладают свойствами, которые заставляют переосмыслить природу бесконечности.

• Строгие кардиналы: Имеют более «сильные» свойства, чем предыдущие известные кардиналы. Они взаимодействуют с математической вселенной неожиданными способами.
• Ультрастрогие кардиналы: Ещё более мощная версия строгих кардиналов, обладающая дополнительными «суперсилами», которые усиливают их влияние на бесконечность и математическую теорию.

Бесконечность и порядок: гипотеза HOD под угрозой

Математики давно пытаются понять, можно ли «упорядочить» бесконечность. Одна из таких гипотез — гипотеза HOD (Hereditary Ordinal Definability), которая предполагает, что даже самые хаотичные бесконечности можно включить в более широкий порядок.

Но новые кардиналы усложняют эту картину. По словам Хуана Агильеры, соавтора исследования, ультрастрогие кардиналы ломают традиционные схемы. Они взаимодействуют с уже известными бесконечностями «странным образом», что может стать доказательством против гипотезы HOD.

"Если это так, структура бесконечности может быть гораздо сложнее, чем мы предполагали," — утверждает Агильера.

Почему это важно?

Эти открытия — не просто абстрактные математические теории. Бесконечность лежит в основе ключевых технологий и областей науки:

• Криптография: Теории бесконечности помогают разрабатывать алгоритмы для защиты данных.
• Космология: Понимание бесконечных структур связано с изучением чёрных дыр и устройства Вселенной.
• Искусственный интеллект: Алгоритмы, основанные на теории множеств, зависят от исследований бесконечности.

Кроме того, такие открытия ставят философские вопросы. Если бесконечность продолжает преподносить сюрпризы, можем ли мы полностью понять устройство Вселенной?

Уточнения

Бесконе́чность — категория человеческого мышления, используемая для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, для которых невозможно указание границ или количественной меры.

Матема́тика (др.-греч. μᾰθημᾰτικά < μάθημα «изучение; наука») — точная формальная наука, первоначально исследовавшая количественные отношения и пространственные формы.