Знаменитая задача решена

Российский математик сообщает, что доказал гипотезу Пуанкаре, то есть решил одну из самых знаменитых нерешенных математических задач
Математик, д-р Григорий Перельман из петербургского отделения Математического института имени Стеклова Российской Академии наук, описывает свою работу в еще не завершенной серии статей. На доскональную проверку доказательства уйдет не один месяц. Но в случае успеха будет подтверждена гипотеза о трехмерных объектах, занимавшая мысли математиков на протяжении столетия, а следствия из нее окажут влияние на развитие геометрии и физики.

Если доказательство будет принято к публикации в реферативном научном журнале и не будет опровергнуто в течение двух лет, Перельман сможет получить от Математического института Клэя в Кембридже, штат Массачусетс, премию в 1 млн долл. — за решение задачи, включенной институтом в число семи самых важных нерешенных математических задач тысячелетия.

Слухи о работе Перельмана ходят с ноября 2002 года, когда он опубликовал первое сообщение о своих результатах на сайте в интернете.

В начале апреля этого года в набитой до отказа аудитории Массачусетского технологического института (M.I.T.) он прочитал первые лекции о своей работе.

Д-р Перельман отказался дать интервью, сказав, что считает это преждевременным.

Д-р Томаш Мровка, математик из M.I.T., в течение двух месяцев посещает семинар, посвященный работе Перельмана, основанной на идеях, выдвинутых другим математиком, Ричардом Гамильтоном. По словам д-ра Мровки, до сих пор всякий раз, когда кто-нибудь ставит вопрос или выдвигает возражение, у Перельмана находится ясный и краткий ответ.

"Уверенности пока нет, но мы воспринимаем это очень серьезно, — сказал д-р Мровка. — Ясно, что он напряженно думал об этом много лет, и найти ошибки будет очень трудно".

Гипотеза Пуанкаре, сформулированная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, является центральной проблемой топологии — науки о геометрических свойствах тел, которые не меняются, когда тело вытягивается, скручивается или сжимается.

Полую оболочку земной поверхности топологи назвали бы двухмерной сферой. Ее свойством является то, что любую окружающую ее веревочную петлю лассо можно стянуть в точку. А вот на поверхности пончика лассо, проходящее через дырку в центре, нельзя стянуть в точку, не разрезав поверхность.

С XIX века математикам известно, что сфера является единственным ограниченным двухмерным пространством, обладающим этим свойством, но что происходит с большим количеством измерений?

Гипотеза Пуанкаре дает соответствующее утверждение о трехмерной сфере, которую, не будучи математиком, трудно себе вообразить. По существу, гипотеза утверждает, что трехмерная сфера — это единственное ограниченное трехмерное пространство без дыр.

"Сложность состоит в том, как узнать, каково пространство, когда одновременно можно видеть лишь малую его часть, — сказал д-р Бенсон Фарб, профессор математики из Университета Чикаго. — Довольно разумно было считать, что Земля плоская".

Гипотеза печально известна тем, что уже предлагалось множество "решений", впоследствии оказавшихся неверными. Да и сам Пуанкаре показал, что самая первая версия гипотезы неверна. С тех пор десятки математиков утверждали, что нашли доказательства, — до тех пор пока эксперты не обнаруживают фатальные изъяны.

Хотя многие эксперты говорят, что попытка д-ра Перельмана волнует их и вселяет надежду, они также выражают осторожность, отмечая, что доказательство еще не полностью записано, а ошибки делают и ученые, заслуживающие самого большого доверия.

Таким был случай 1993 года с д-ром Эндрю Вайлсом, профессором из Принстона, когда оказалось, что в его знаменитом доказательстве Последней теоремы Ферма есть серьезный пробел, на ликвидацию которого Вайлс и его бывший ученик д-р Ричард Тейлор потратили много месяцев.

Результаты д-ра Перельмана, как и результаты д-ра Вайлса, выходят далеко за рамки решения конкретной задачи. Из результатов Перельмана видно, что он доказал более широкую гипотезу о геометрии трехмерных пространств, выдвинутую в 1970-х годах. Гипотеза Пуанкаре — лишь ее малая часть.

Биография Перельмана перекликается с историей Вайлса, который, не говоря об этом коллегам, восемь лет в одиночку работал над Последней теоремой Ферма у себя на чердаке. Перельман, которому его прежние работы принесли репутацию блестящего математика, последние восемь лет провел в уединении в России, ничего не публикуя.

В статье, появившейся в ноябре 2002 года, Перельман, которому сейчас под 40, благодарит Нью-Йоркский университет, Университет штата Нью-Йорк и Университет Калифорнии за то, что сбережения, сделанные, когда его приглашали туда читать лекции, помогли ему прожить в России.

В его статьях говорится, что он доказал так называемую гипотезу геометризации — полную характеристику геометрии трехмерных пространств.

С XIX века математики знают, что типу двухмерного пространства, называемому многообразием, можно придать жесткую геометрическую структуру, которая везде выглядит одинаково. Математики могли назвать все возможные формы двухмерных многообразий и объяснить, как существо, живущее на поверхности одного из них, узнает, на какой форме пространства оно находится.

Однако в 1950-е годы российский математик доказал, что задача не имеет решения в четырех измерениях и даже в трех измерениях вопрос представляется безнадежно сложным.

В начале 1970-х профессор Университета Калифорнии Вильям Тарстон предположил, что трехмерные многообразия состоят из множества гомогенных частей, которые можно соединить лишь определенными способами, и доказал, что во многих случаях его гипотеза верна. За эту работу д-р Тарстон был удостоен высшей награды для математиков — медали Филда.

Если работа Перельмана верна, она станет завершающей частью полного описания структуры трехмерных многообразий и, почти как запоздалая мысль, решением знаменитой гипотезы Пуанкаре. В своем подходе Перельман использует метод, известный как поток Риччи, изобретенный д-ром Гамильтоном, который сейчас работает в Университете округа Колумбия.

Поток Риччи — это процесс усреднения, применяемый для того, чтобы сгладить выпуклости многообразий и сделать их вид более однородным. Гамильтон использует поток Риччи для доказательства нескольких случаев гипотезы геометризации, наметив общий план того, как ее можно применить при доказательстве этой гипотезы для всех случаев. Однако он столкнулся с проблемами, пытаясь справиться с определенными типами больших выступов, которые склонны были бесконтрольно расти в процессе усреднения.

"Перельман сумел найти новые и интересные способы справиться с этими странностями, — сказал д-р Мровка. — Его работа во многом опирается на работу Гамильтона, но вносит в этот план удивительные новые дополнения".

По мнению математиков, если Перельман успешно решит гипотезу Пуанкаре, он, вероятно, разделит премию Математического института Клэя с д-ром Гамильтоном.

Даже если Перельман не доказал гипотезу геометризации, считают математики, все равно ясно, что его работа вносит в математику заметный вклад.

"В этом счастливом стечении обстоятельств не важно, от чего получать удовольствие, — сказал д-р Мровка. — Сделал он это или просто добился существенного прогресса, нам всем будет чему поучиться".

Сара Робинсон / New York Times