Гипотеза: новое значение числа Пи

Число π является иррациональным числом. А что такое иррациональное число?

В справочнике по математике для инженеров и учащихся втузов говорится: "Действительное число а называется рациональным, если существуют такие целые числа g1 и g2 (g2 != 0), что а = g1/g2. В противном случае а называется иррациональным.

Фактически чёткого определения для иррационального числа не дано. Сначала смотрим не является ли число рациональным и если не является, следовательно число иррационально.

Известный американский математик, профессор Нью — Йорского университета Морис Клайн в главе V своей книги "Математика. Утрата определённости " ([2]) затрагивает данную тему.

Ниже приводятся его рассуждения по этой проблеме.

На протяжении двух тысячелетий математики были уверены в том, что весьма успешно открывают математические принципы, заложенные в фундаменте мироздания. Но в середине XIX в. они вынуждены были признать, что глубоко заблуждались, принимая математические законы за абсолютные истины.

В древнем Египте и Вавилоне уже были хорошо знакомы с целыми числами , дробями и даже с такими иррациональными числами, как √2 или √3. Для практических приложений иррациональные числа аппроксимировали рациональными. Но поскольку математика в Древнем Египте, Вавилоне и даже вплоть до IV в. до н.э. в Древней Греции строилась на интуитивной или эмпирической основе, как восхищение её логической структурой, так и её критика были в равной степени беспредметны.

Первое известное нам логически последовательное изложение теории целых чисел содержится в VII, VIII и IX книгах "Начал" Евклида. В них Евклид предлагает, например, такие определения: "Единица есть [то], через что каждое из существующих считается единым; число же — множество, составленное из единиц" ([25]), кн. VII - X, с. 9). Ясно, что подобные определения мало что говорят — в их формулировках отражается тот факт, что как в арифметике Евклида, так и в его геометрии проявляется непонимание необходимости неопределяемых понятий. К сожалению, некоторые из приведённых им доказательств ошибочны. Тем не менее древние греки и их преемники считали, что теория целых чисел обоснована вполне удовлетворительно. Более того, они, не церемонясь, позволяли себе говорить об отношениях целых чисел (дробей), хотя отношения целых чисел не были ими никак определены.

В логическом развитии теории чисел древние греки столкнулись с трудностью, оказавшейся для них непреодолимой. Как известно, пифагорейцы в V в. до н.э. первыми подчеркнули важность целых чисел и отношений целых чисел для изучения природы. Более того, именно в целых числах и их отношениях пифагорейцы видели "меру" всего. Когда же обнаружилось, что некоторые отношения, например отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к катету, непредставимы в виде отношения целых чисел, это и удивило, и обеспокоило пифагорейцев. Отношения, представимые в виде отношений целых чисел, пифагорейцы назвали соизмеримыми, а отношения, непредставимые в виде отношений целых чисел, получили название несоизмеримых. Так, иррациональное число √2 может служить примером несоизмеримого отношения.

Открытие иррациональных чисел поставило проблему, ставшую центральной для древнегреческой математики. Платон в своих "Законах" призывал к познанию несоизмеримых величин. Решение проблемы предложил Евдокс, некогда бывший учеником Платона: понятие величины надлежит трактовать геометрически. Длины, углы, площади и объёмы, величины которых — если их выразить численно — могли оказаться иррациональными, следовало представлять геометрически. Именно так формулирует Евклид теорему Пифагора: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на обоих катетах. Под суммой квадратов Евклид понимает, что суммарная площадь фигуры, составленной из двух квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Обращение за помощью к геометрии здесь вполне понятно. Если числа 1 и √2 рассматривать как длины, т.е. как отрезки прямых, то принципиальное различие между 1 и √2 сглаживается и почти перестаёт быть заметным.

Разумеется, геометрическое представление чисел и операций над ними не очень подходило для практических целей. Логически вполне удовлетворительно представлять произведение √2 * √3 как площадь прямоугольника. Но если требуется вычислить это произведение, то такого представления явно недостаточно. В естествознании и технике геометрические фигуры значительно менее полезны, чем численный ответ, полученный с требуемой точностью. В приложениях математики и в технике интерес представляют главным образом количественные результаты.

Арифметика и алгебра, столь свободно используемые александрийцами, которым они достались по наследству от египтян и вавилонян, были лишены логической основы. Птолемей и другие учёные александрийского периода, как правило, перенимали у древних египтян и вавилонян эмпирический подход к математике. Такие иррациональные числа, как π, √2, √3 и другие, вводились некритически и в случае необходимости заменялись рациональными приближениями. Наиболее известный пример использования иррациональных чисел — приближённое вычисление Архимедом числа π. По оценкам Архимеда, значение π заключено между 3 целых 1/7 и 3 целых 10/71. Независимо от того, знал или нет Архимед, что число π иррационально, найденные им приближённые значения π содержали нескончаемые нагромождения квадратных корней ([33], с. 266 — 270, 528 -553), а извлечение квадратного корня чревато появлением иррациональных чисел, о чём не мог не знать Архимед.

Когда в конце средневековья и в период Возрождения европейцы — отчасти через арабов, отчасти непосредственно из сохранившихся греческих рукописей — ознакомились с существующим уровнем достижений математики, они своеобразно разрешили дилемму, возникшую в связи с разделением математики на два типа "знания". Настоящей математикой, по мнению европейцев, заведомо была только дедуктивная геометрия греков. Но в то же время они не могли и не хотели отрицать полезность и эффективность арифметики и алгебры, которые хотя и были лишены твёрдого логического фундамента, но уже значительно усовершенствовались по сравнению с классической древностью.

Первая проблема, с которой столкнулись европейцы, сводилась к старому вопросу о том, как следует относиться к иррациональным числам. Итальянский математик Лука Пачоли (ок. 1445 — 1514), немецкий монах и профессор математики в Йене Михаэль Штифель (1486(?) — 1567), итальянский врач и учёный Джироламо Кардано (1501 — 1570) и фламандский военный инженер Симон Стевин (1548 — 1620) свободно использовали иррациональные числа, следуя здесь традиции индийцев и арабов, и ввели много новых типов иррациональностей. Так, Штифель оперировал с иррациональными выражениями вида (a + (b ^(1/n)))^(1/m), а Джироламо Кардано — иррациональностями, содержащими кубические корни. Примером того, насколько свободно и широко европейцы использовали иррациональности, может служить выражение для числа π, полученное Франсуа Виетом (1540 — 1603). Рассматривая правильные многоугольники с 4, 8, 16 и более сторонами, вписанные в окружность единичного радиуса, Виет обнаружил, что

2/π = √(1/2) * √(1/2 + 1/2√ π) * √(1/2 + 1/2√ (1/2 + 1/2√ π))...

Иррациональные числа нашли широкое применение и в связи с одним из новых достижений математики эпохи возрождения — логарифмами. Логарифмы положительных чисел были изобретены в конце XVI в. Джоном Непером (1550 — 1617) для той самой цели, для которой они с тех пор и употребляются, — для ускорения арифметических вычислений. И хотя логарифмы большинства положительных чисел иррациональны (а предложенный Непером метод вычисления логарифмов основан на свободном обращении с иррациональными числами), все математики приветствовали полезное изобретение, избавившее их от излишнего труда.

Вот вкратце мнение Мориса Клайна. Для нас здесь наиболее важным является его мнение о том, что ни метод Архимеда ни метод Виета не является точным т.к. в обоих методах применяются "нескончаемые нагромождения квадратных корней" извлечение которых чревато появлением иррациональных чисел.

Метод расчёта числа π содержит только одно единственное иррациональное число √3 и в силу этого является более точным, чем два вышеприведённых метода, при условии, что не имеет в себе логических противоречий.